首先，《民法典》第二十六条明确规定，成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。《老年人权益保障法》第十九条规定，赡养人不得以放弃继承权或者其他理由，拒绝履行赡养义务。赡养人不履行赡养义务，老年人有要求赡养人付给赡养费等权利。

继承权是一种财产权利，继承人可以根据自身意愿选择放弃。而赡养义务是基于亲子等特定身份关系而产生的法定义务，具有强制性，不因任何外在因素而免除。赡养是中华民族传统美德的重要组成部分，是子女对父母基于伦理和法律责任的照顾，是对父母养育之恩的回报。即使子女放弃了继承权，也应保障老人的生活，给予其经济上的供养、生活上的照料和精神上的慰藉。若子女以放弃继承为由拒绝赡养，老人可向法院提起诉讼，要求子女履行赡养义务、支付赡养费等，法院会依法保障老人的合法权益。